Démineur : les probabilités quand la logique ne suffit plus

Au démineur, la logique résout la plupart des situations. Pas toutes. Il arrive qu’aucune case ne soit sûre à coup sûr. Il faut alors deviner, mais pas au hasard : certaines cases sont nettement moins risquées que d’autres. Ce guide montre comment les comparer avec des calculs simples, que tu peux vérifier toi-même.

Les exemples s’appliquent à Neon Mines. Si tu n’as pas encore les motifs de base en tête, commence par les motifs logiques du démineur : une devinette n’est justifiée qu’une fois toutes les déductions épuisées.

Ce que dit le code de Neon Mines

Quatre règles servent directement au calcul :

• deux niveaux : 9×9 avec 10 mines, ou 12×12 avec 24 mines ;
• les mines sont posées au premier clic, jamais sur la case touchée ni sur ses voisines ;
• en dehors de ces cases interdites, toutes les répartitions de mines ont la même chance d’être tirées ;
• le compteur affiche le nombre total de mines moins le nombre de drapeaux posés.

Le troisième point est la clé. Puisque le tirage est uniforme, toutes les répartitions compatibles avec ce que tu vois sont également probables. Calculer une probabilité revient donc à compter des répartitions.

Le quatrième point est un piège. Le compteur fait confiance à tes drapeaux. Un drapeau faux, et le compteur ment. Tout ce qui suit suppose des drapeaux justes.

La densité de départ

Au premier clic, au milieu de la grille, la case touchée et ses huit voisines sont exclues. Avant de regarder ce que la cascade révèle, il reste :

• en 9×9 : 81 moins 9, soit 72 cases pour 10 mines. Chacune a une probabilité de 10/72, environ 13,9 %, d’en contenir une ;
• en 12×12 : 144 moins 9, soit 135 cases pour 24 mines. Probabilité de 24/135, environ 17,8 %.

Ce sont des probabilités exactes tirées des règles, pas des moyennes observées. Elles disent une chose simple : le 12×12 est plus dense. Une case prise au hasard y est plus risquée qu’en 9×9.

Frontière contre case isolée

Deux familles de cases

Quand tu dois deviner, les cases fermées se rangent en deux familles :

• les cases de frontière, qui touchent au moins un chiffre ouvert ;
• les cases isolées, qui ne touchent aucun chiffre.

Pour une case de frontière, ce sont les chiffres voisins qui fixent le risque. Pour une case isolée, c’est la densité des mines qui restent après avoir compté celles de la frontière.

Un exemple chiffré

Tu joues en 12×12. Tes 16 drapeaux sont justes : le compteur affiche 8. Toutes les cases qui touchent un chiffre sont ouvertes ou marquées, sauf trois, A, B et C. Elles touchent un 1, et ce 1 est le seul chiffre non satisfait qui les touche. Les 35 autres cases fermées ne touchent aucun chiffre.

Le calcul :

1. Le 1 impose exactement une mine parmi A, B et C. Rien ne les distingue : chacune a une probabilité de 1/3, environ 33 %.
2. Il reste donc 8 moins 1, soit 7 mines, dans les 35 cases isolées.
3. Chaque case isolée a une probabilité de 7/35, soit 1/5, exactement 20 %.

Pour vérifier : quel que soit l’emplacement de la mine parmi A, B et C, les 7 autres mines se répartissent dans les 35 cases isolées, et toutes les répartitions se valent. Aucune de ces 35 cases n’est avantagée : elles se partagent 7 mines, soit 7/35 chacune.

Conclusion : ici, la case isolée est nettement moins risquée que la frontière. L’intuition « je reste près des chiffres, c’est plus sûr » est fausse dans ce cas.

Quand le calcul est exact

Ce calcul est exact parce que le nombre de mines de la frontière est fixé : une, ni plus ni moins. Quand plusieurs chiffres se chevauchent et que la frontière peut contenir deux ou trois mines selon les cas, il faut compter chaque scénario et le pondérer par le nombre de façons de remplir les cases isolées. En partie, une estimation suffit souvent : soustrais du compteur le nombre de mines que la frontière contient le plus probablement, et divise par le nombre de cases isolées.

Le compteur en fin de partie

Quand il tranche tout seul

En fin de partie, le compteur devient un outil de déduction à part entière. Exemple en 9×9 : le compteur affiche 1. Il reste deux cases fermées A et B, désignées par un 1 comme seules candidates, plus trois cases D, E et F, par exemple dans un coin, entourées de drapeaux, qui ne touchent aucun chiffre.

Le 1 impose une mine en A ou en B. Le compteur dit qu’il n’en reste qu’une. Donc D, E et F sont sûres, sans aucun risque. Ouvre-les : leurs chiffres peuvent même trancher entre A et B.

Quand il donne une probabilité

Même situation, mais le compteur affiche 2. Il y a alors une mine dans A ou B, et une dans D, E ou F. Soit 2 × 3 = 6 répartitions possibles, toutes également probables :

• A ou B : probabilité 1/2 chacune ;
• D, E ou F : probabilité 1/3 chacune.

Tu ouvres donc d’abord dans le coin. Avec un peu de chance, la case ouverte affiche un chiffre qui localise la mine du coin. La paire A et B reste un vrai pile ou face, mais tu l’auras gardée pour la toute fin.

Choisir la case qui informe le plus

Le risque n’est pas le seul critère. Une case sûre à 80 % qui ne t’apprend rien vaut parfois moins qu’une case un peu plus risquée qui débloque la suite. Quelques repères :

• Préfère une case dont le chiffre tranchera. Une case qui touche une seule des deux candidates d’une paire peut, une fois ouverte, dire si celle-ci est une mine. Une case qui touche les deux compte les deux à la fois et ne les départage pas.
• Pense aux coins. Une case d’angle n’a que trois voisines. À densité égale, elle a plus de chances d’être un zéro, et un zéro ouvre ses voisines en cascade.
• Évite les cases isolées au milieu de nulle part quand elles ne sont pas nettement plus sûres : leur chiffre, entouré de cases fermées, aide rarement.
• Devine tôt si la devinette est inévitable. Si aucune autre ouverture ne peut changer les données d’une paire, la probabilité reste la même plus tard. Autant la jouer avant d’investir du temps ailleurs.

Le chronomètre compte aussi : le score de victoire vaut 1000 moins les secondes écoulées, avec un minimum de 10.

Récapitulatif

1. Épuise d’abord toute la logique.
2. Vérifie tes drapeaux : le compteur n’est juste que s’ils le sont.
3. Calcule la probabilité de la frontière à partir des chiffres.
4. Calcule la densité des cases isolées avec le compteur.
5. Joue la case la moins risquée, ou à risque proche, celle qui t’apprendra le plus.

Le même goût du calcul exact se retrouve dans les mathématiques de Lights Out et Daily Grid. Pour d’autres casse-têtes, va voir la rubrique jeux de logique.